حل کاردرکلاس صفحه21 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۲۱ حسابان یازدهم سلام! این یک سوال کلامی است که باید آن را به یک **معادله ریاضی (گنگ)** تبدیل کنیم و سپس حل کنیم. اگر چنین عددی وجود داشته باشد، آن را $\mathbf{x}$ فرض می‌کنیم. ### گام اول: تشکیل معادله * **عدد صحیح**: $x$ * **جذر آن**: $\sqrt{x}$ * **شرط**: جمع آن با جذرش برابر ۶ باشد. $$\mathbf{x + \sqrt{x} = ۶}$$ ### گام دوم: تعیین شرط اولیه (دامنه) چون عبارت $\sqrt{x}$ در معادله وجود دارد، باید حتماً عبارت زیر رادیکال، نامنفی باشد: $$\mathbf{x \ge ۰}$$ ### گام سوم: حل معادله با تغییر متغیر از روش **تغییر متغیر** استفاده می‌کنیم تا معادله گنگ به معادله درجه دوم تبدیل شود: * **فرض**: $\mathbf{u = \sqrt{x}}$ * **نتیجه**: $u^۲ = x$ معادله بر حسب $u$ به صورت زیر درمی‌آید: $$u^۲ + u = ۶$$ $$u^۲ + u - ۶ = ۰$$ ### گام چهارم: حل معادله درجه دو بر حسب $u$ معادله را با روش **تجزیه** حل می‌کنیم. به دنبال دو عدد می‌گردیم که ضرب آن‌ها $-۶$ و جمع آن‌ها $۱$ باشد (اعداد $۳$ و $-۲$): $$(u + ۳)(u - ۲) = ۰$$ $$\mathbf{u_۱ = -۳ \quad \text{و} \quad u_۲ = ۲}$$ ### گام پنجم: بازگشت به متغیر اصلی $x$ و بررسی اعتبار جواب‌ها می‌دانیم که $\mathbf{u = \sqrt{x}}$ است. از آنجا که جذر یک عدد حقیقی همواره نامنفی است، **$u$ باید نامنفی باشد** ($u \ge ۰$). * **حالت اول ($u = -۳$):** این جواب قابل قبول **نیست**، زیرا $\sqrt{x}$ نمی‌تواند منفی باشد. $$\sqrt{x} = -۳ \quad (\text{غیرقابل قبول})$$ * **حالت دوم ($u = ۲$):** این جواب قابل قبول است. $$\sqrt{x} = ۲ \implies x = (۲)^۲ \implies \mathbf{x = ۴}$$ ### گام ششم: بررسی نهایی مقدار $\mathbf{x=۴}$ یک عدد صحیح است. بررسی می‌کنیم که آیا در معادله اصلی صدق می‌کند: $$\text{جمع آن با جذرش} = ۴ + \sqrt{۴} = ۴ + ۲ = ۶$$ **پاسخ نهایی**: بله، عدد صحیح $\mathbf{۴}$ وجود دارد که جمع آن با جذرش برابر شش است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۲۱ حسابان یازدهم سلام! این سوال در مورد حل یک **معادله گنگ** و نکته مهمی در مورد **دامنه** آن است. در معادلات گنگ، حتماً باید جواب‌های نهایی را در دامنه اولیه بررسی کنیم. --- ### بخش اول: حل معادله و تعیین دامنه **گام ۱: تعیین دامنه (شرط رادیکال)** معادله $\mathbf{x\sqrt{x^۲ - ۴} + ۲\sqrt{x^۲ - ۴} = ۰}$ شامل رادیکال زوج $\sqrt{x^۲ - ۴}$ است. پس باید عبارت زیر رادیکال نامنفی باشد: $$x^۲ - ۴ \ge ۰$$ $$x^۲ \ge ۴$$ $$\mathbf{|x| \ge ۲ \implies x \ge ۲ \quad \text{یا} \quad x \le -۲}$$ **گام ۲: حل معادله با فاکتورگیری** از عامل مشترک $\sqrt{x^۲ - ۴}$ فاکتور می‌گیریم: $$\sqrt{x^۲ - ۴} (x + ۲) = ۰$$ این تساوی زمانی برقرار است که یکی از عوامل صفر باشد: * **حالت اول (عامل رادیکالی صفر باشد):** $$\sqrt{x^۲ - ۴} = ۰ \implies x^۲ - ۴ = ۰ \implies x^۲ = ۴$$ $$\mathbf{x = ۲ \quad \text{یا} \quad x = -۲}$$ * **حالت دوم (عامل غیر رادیکالی صفر باشد):** $$x + ۲ = ۰ \implies \mathbf{x = -۲}$$ **جواب‌های به دست آمده**: $\mathbf{۲}$ و $\mathbf{-۲}$ --- ### بخش دوم: بحث در مورد قابل قبول بودن جواب‌ها هر دو جواب $x=۲$ و $x=-۲$ را در **دامنه** اولیه ($x \ge ۲$ یا $x \le -۲$) بررسی می‌کنیم: * **بررسی $x=۲$**: در دامنه صدق می‌کند ($۲ \ge ۲$). **قابل قبول است**. * **بررسی $x=-۲$**: در دامنه صدق می‌کند ($-۲ \le -۲$). **قابل قبول است**. **نتیجه بحث**: هر دو جواب $\mathbf{x=۲}$ و $\mathbf{x=-۲}$ ریشه‌های واقعی معادله هستند. --- ### بخش سوم: آیا بدون حل نیز می‌شد به این نتیجه رسید؟ **بله، می‌شد.** این معادله دارای یک ویژگی خاص است که می‌توانستیم بدون حل کامل هم ریشه‌ها را حدس بزنیم یا در مورد دامنه آن نتیجه بگیریم. **توضیح مفهومی:** 1. **بررسی حدودی ریشه‌ها**: چون عبارت $\sqrt{x^۲ - ۴}$ در معادله وجود دارد، ما مطمئن هستیم که ریشه‌ها باید حتماً در ناحیه $\mathbf{x \le -۲}$ یا $\mathbf{x \ge ۲}$ باشند. 2. **صفر شدن رادیکال**: واضح است که اگر عبارت زیر رادیکال صفر شود، کل معادله در آن نقطه صفر خواهد شد. این اتفاق در **$x^۲ - ۴ = ۰$**، یعنی **$x=۲$ و $x=-۲$** می‌افتد. بنابراین، $\mathbf{۲}$ و $\mathbf{-۲}$ قطعاً ریشه‌های معادله هستند، زیرا عامل رادیکالی را صفر می‌کنند. 3. **بررسی عامل $(x+۲)$**: اگر رادیکال صفر نباشد (یعنی $|x| > ۲$)، برای برقرار شدن تساوی، عامل دوم $(x+۲)$ باید صفر شود، یعنی $x=-۲$. اما $x=-۲$ شرط $|x|>۲$ را نقض می‌کند و در عین حال، $\sqrt{x^۲-۴}$ را صفر می‌کند (که این حالت را به حالت اول برمی‌گرداند). بنابراین، با تحلیل دامنه و مشاهده اینکه ریشه‌های مرزی دامنه ($\mathbf{x=\pm ۲}$) رادیکال را صفر می‌کنند، می‌توانستیم **حدس بزنیم** که این دو عدد ریشه‌ها هستند و ریشه‌های دیگری وجود ندارند.